Modèles de Pricing d'options :

 

Black & Scholes

Simulation de Monte Carlo

RBF - Radial Basis Function

Différences finies

CEV - Constant Elasticity of Variance

SABR

Black & Scholes

 

Célèbre modèle qui nous permet de déterminer le prix d’un produit dérivé.
Il repose sur différentes hypothèses.
La formule, le modèle et les hypothèses sont exposés dans le projet.
Il est cependant critiqué pour de nombreuses raisons, en particulier liées aux hypothèses émises.
- Le fait que le temps soit continu!
- La rationalité des investisseurs par rapport aux risques.
- La gaussiennité de la distribution.

Ces hypothèses prises aux mots par les marchés ont conduites à des politiques de gestion des risques pouvant être qualifiées d'irresponsables de la part des institutions financières.

Il peut paraitre étrange voir biaisées de s’appuyer sur un modèle mathématique pour en déduire des faits qui seront appliqués sur les marchés. Ces modèles sont incapables de prévoir les crises et les grands bouleversements. Ils nous permettent cependant d’étudier  précisément le marché en général.

Pricing d'un Call

Pour calculer le prix d’une option Call, il nous suffit d’appliquer la formule de Black-Scholes. On rappelle que le prix s’écrit sous la probabilité risque neutre :

?

En utilisant la diffusion du sous-jacent, avec W un mouvement Brownien standard :

?

La démonstration nous permet de retomber sur la formule B&S de l’option Call :

?

Avec N la fonction de répartition de la loi Normale et d1 et d2 donnés par :

?

 

Pricing d'un put

Parité Call-Put :

?

En peut donc exprimer le prix d’une option Put en fonction d’un Call, du sous-jacent et d’un montant en cash K actualisé sur la période.

Grecques

Pour trouver le Delta d’une option Call ou Put, il suffit de dériver la formule B&S du prix de l’option par rapport au sous-jacent.
On obtient ainsi :

?

Pour trouver le Gamma d’une option Call ou put, il suffit de faire la dériver seconde du prix B&S par rapport au sous-jacent.

?

 

Priceur Black & Scholes

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Simulation de Monte - Carlo

 

Estimation du prix d'une option Européenne par Monte Carlo

La méthode de Monte Carlo permet de calculer le prix d’une option en utilisant des procèdes aléatoires.
Les différentes étapes pour le calcul du prix de l’option :

  •  Simulation d’un alea Gaussien par la méthode de Box-Muller

  •  Définition du payoff d’un Call et d’un Put

  •  Simulation d’un grand nombre de prix du sous-jacent

  •  Calcul du prix de l’option sous la probabilité risque neutre en utilisant comme prix du sous-

    jacent la moyenne de l’ensemble de nos simulations.

Priceur Monte - Carlo

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Radial Basis Function

 

 

 

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Différences finies

 

 

 

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Constant Elasticity of Variance

 

 

 

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SABR

 

 

 

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